В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 6, а длина катета ВС
равна 8. Точка D делит гипотенузу АС пополам. Найти расстояние между центрами
окружностей, вписанных в треугольник ABD и в треугольник BCD.
 

Сделаем рисунок треугольника АВС.
Так как АВ и ВС - катеты, угол В=90°
Найдем гипотенузу АС по т. Пифагора (или просто учтем, что данный треугольник - египетский с отношением сторон 3:4:5).⇒
АС=10
Соединим В и Д. ВД - медиана прямоугольного треугольника и потому равна половине гипотенузы. 
ВД=5
Треугольник ВАД - равнобедренный.
ВD=АD 
Из центра окружности О проведем к точке касания с АС отрезок ОТ, к точке касания с АВ отрезок ОР.
АР=РВ: треугольник равнобедренный и центр окружности О лежит на биссектрисе ДР ( она же высота и медиана)
По свойству отрезков касательных к окружности из одной точки 
 АТ=АР=АВ:2=3
В треугольнике ВDС из центра О1 проведем отрезки к точкам касания О1Н и О1Е
Треугольник ВDС - равнобедренный и центр окружности О1 лежит на биссектрисе DН ( она же высота и медиана)
ВН=НС=ВС:2=4
По свойству отрезков касательных к окружности из одной точки 
НС=ЕС=4
ТЕ=АС-АТ-СЕ=10-3-4=3
По формуле радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности
r=(b:2)*[√(2а-b):(2a+b)] 
найдем радиусы ОТ и ЕО1
ОТ=3/2
ЕО1=4/3
Четырехугольник ОТЕО1 -  прямоугольная трапеция с основаниями ОТ и О1Е и меньшей боковой стороной ТЕ
Расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник ABD и в треугольник BCD - большая боковая сторона этой трапеции. 
ТЕ=3
ЕО1=4/3
ТМ=3/2
Из О1 опустим высоту О1М. 
Треугольник О1МО - прямоугольный. 
МО=ТО-ЕО1=1/6
По т. Пифагора 
ОО1=√(ОМ²+МО1²)=√(9+1/36)=√(325/36)=(5√13):6