В мешке 45 шариков.Каждый по очереди вынимает из мешка любое количество шариков от1 до 5.Выиграет тот кто вытащит последний шарик.

Кто бы игру ни начинал, ты должен выиграть. Как это сделать? 

Выигрывает тот, кто возьмет 35-й шарик, следовательно, тот, кто возьмет 29-й шарик, 23-й, 19-й, 13-й, 7-й, 2-й шарик.(отнимаем по 5 от 35)
Выигрывает начинающий, если он возьмет 2 шарика и затем будет дополнять до 6 число шариков, взятых партнером.

Выиграть можно,  если только играют двое.  В игре выигрыет тот игрок, после предпоследнего хода которого остается  6 шариков, тогда после очередного хода соперника,  сколько бы он не взял,  в мешке останется от 1 до 5 шаров. Вытащив все их,  победитель закончит игру.

Т.е.  идея такова:  чтобы выиграть игру надо каждый раз брать столько шаров, чтобы в сумме с шарами, взятыми перед этим партнером, они составляли 6. 

Если ты хочешь выиграть и начинаешь игру, то сразу нужно взять из имеющихся 45 шаров, столько, чтобы количество оставшихся шаров было кратно 6, т.е. надо взять 3 шарика. При этом останется 42 шарика. Дальше следуем нашей идее:  каждый раз надо брать столько шаров, чтобы в сумме с шарами, взятыми перед этим партнером, они составляли 6.

Если ты хочешь выиграть, но начинает соперник, нужно в последующем ходе надо взять такое количество шаров,  чтобы  количество оставшихся шаров стало кратно 6,  т.е.  в зависимости от того, сколько взял вначале соперник, берем:

                                    соперник            ты

                                         1                    2   

                                         2                    1

                                         3       Бери 3 шара, а в следующий свой ход следуй

                                                  этой же схеме, и так до тех пор, пока соперник

                                                  возьмет количество шаров не равное 3.  

                                         4                    5

                                         5                    4

А дальше опять каждый раз надо брать столько шаров, чтобы в сумме с шарами, взятыми перед этим партнером, они составляли 6.

Ответ: чтобы выиграть нужно начать первым, взять 3 шара, а затем брать столько шаров, чтобы в сумме с шарами, взятыми перед этим партнером, они составляли 6.  Если начать вторым, есть вероятность проигрыша.