Опубликовано 6 лет назад по предмету Математика от mafanya310

Помогите, пожалуйста.
Конечная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. произведение членов этой прогрессии является делителем числа 19600.
Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?
Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?
Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?

Ответ

Ответ дан DNHelper

Разложим число 19600 на простые множители:
$19600=140^2=(7*2*10)^2=(7*2^2*5)^2=2^4*5^2*7^2$
Делителем этого числа будет некое число $2^a*5^b*7^c, aleq4, bleq 2, cleq 2, a,b,cinmathbb{N}_{0}$ .
Не забудем также, что в разложение числа можно добавить единицу в любой степени (обозначим показатель степени единицы за x).
а) Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?
Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно $b_1*b_2*b_3=b_1*b_1*q*b_1*q^2=b_1^3*q^3=1^x*2^a*5^b*7^c$ .
Мы видим, что возможно найти кубы чисел в данном разложении: например, можно взять куб единицы и куб двойки. Приведём пример: пусть $b_1=1, q=2$ . Тогда произведение членов этой прогрессии равно $1*2*4=8, 19600mathrel{vdots}8$ . Такое может быть.
б) Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?
Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно $b_1*b_1*q*b_1*q^2*b_1*q^3*b_1*q^4=b_1^5*q^{10}=1^x*2^a*5^b*7^c$ .
Если самую большую степень отдать под единицу, то есть 10, то остаётся пятая степень, а в разложении максимально возможная степень — это 4. Если бы мы отдали пятую степень под единицу, тем более случай бы не реализовался.
Случай с ненатуральным знаменателем прогрессии также не реализуется, так как первый её член — это как минимум четвёртая степень какого-то числа, которое стоит в знаменателе q (если q — рациональное число). При перемножении всех пяти членов в произведении будет как минимум двадцатая степень, которой нет в разложении (единица не в счёт, иначе знаменатель будет натуральным числом). Иррациональным знаменатель прогрессии быть не может, иначе некоторые его члены будут также иррациональны.
Таким образом, прогрессия не может состоять из 5 членов.
в) Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?
Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно $b_1*b_1*q*b_1*q^2*b_1*q^3=b_1^4*q^6=1^x*2^a*5^b*7^c$ .
Шестую степень можно отдать под единицу, а четвёртую – под двойку. Тогда мы получим такую прогрессию: $b_1=2, q=1$ . Произведение её членов равно $2*2*2*2=16, 19600mathrel{vdots}16$ . То есть такое может быть.
Ответ: а) да; б) нет; в) да