Опубликовано 4 года назад по предмету Математика от batista13

Чему равен ln5? Как вообще это определить? Заранее спасибо)

Ответ

Ответ дан vzobergdev

$ln 5$ можно, конечно, посчитать на калькуляторе, но есть и приближенная формула (если любопытно, то она основана на разложении натурального логарифма в ряд Тейлора)

Для любого $x$ такого что $|x| leq 1$ выполняется $ln(1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-cdots$ .
Приведем $ln 5$ к такому виду, чтобы можно было воспользоваться формулой: $ln 5 = ln (2cdot2.5) = ln 2+ln2(1+0.25) = 2ln 2 + ln(1+0.25)$ .
Посчитаем отдельно $ln 2$ и $ln 1.25$ .
$ln 2 = ln (1+1) = 1-frac{1^2}{2}+frac{1^3}{3}-frac{1^4}{4}+frac{1^5}{5}-frac{1^6}{6}+frac{1^7}{7}-frac{1^8}{8}+frac{1^9}{9}-frac{1^{10}}{10}+frac{1^{11}}{11}-cdotsapproxfrac{20417}{27720}$
$ln 1.25 = ln (1+0.25) =0.25 -frac{0.25^2}{2}+frac{0.25^3}{3}-frac{0.25^4}{4}+frac{0.25^5}{5}-frac{0.25^6}{6}+frac{0.25^7}{7}-frac{0.25^8}{8}+frac{0.25^9}{9}-frac{0.25^{10}}{10}+frac{0.25^{11}}{11}-cdotsapproxfrac{3243004057}{14533263360}$
В итоге получим $ln 5 = 2ln 2 + ln 1.25 approx 2frac{20417}{27720}+frac{3243004057}{14533263360} = frac{8217260083}{4844421120} approx 1.69623$ что почти точно совпадает со значением, вычисленным на калькуляторе. Если взять больше членов разложения, то можно будет еще более приблизиться к числу, что подсказала бездушная машина.