плоскость выкрашена в 2 цвета: синий и красный. При этом имеются точки синего цвета и точки красного цвета. Докажите что найдется параллелограмм, у которого три вершины одного цвета а четвертая другого.

О! Оказалось, что я глупил) И все просто!

Просто покрась всю плоскость в один цвет - ясно, что любые четыре точки будут одноцветными. Однако, понятно, что условия не соблюдены - второго цвета нет.
Вот тут главная тонкость: как только возникает хоть одна точка другого цвета - сейчас же возникает возможность построить пераллелограмм с вершиной в этой точке. Значит, параллелограмм с точками разных цветов 3+1 счас же становится возможным соорудить)

А ошибка моя была в том, что я отчего-то решил, что условия предполагают конкрентые цвета: будто бы нужно было доказать, что заведомо возможно построить параллелограмм с тремя синими и одной красной. Это условие невыполнимо: ведь можно так раскрасить плоскость, что всего одна или две точки будут синими.)

раз нет фиксации цветов, а речь только о различности их - доказательство легко получилось)

Ура!)