В ряд выписаны квадраты всех натуральных чисел начиная с 1. Каждое число заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

а) найти 541 число получившейся последовательности
б) сумму первых 550чисел получившейся последовательности
в)чему может равняться наибольшая сумма 542 чисел получившейся последовательности, идущих подряд? 

В ряд выписаны квадраты всех натуральных чисел начиная с 1.
Каждое число заменили суммой его цифр.
С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор,
пока не получилась последовательность однозначных чисел.
а) найдите 541 число получившейся последовательности.
б) найдите сумму первых 550 чисел получившейся последовательности.
в) Чему может равняться наибольшая сумма 542 чисел получившейся последовательности,
идущих подряд?

Начнем выполнять эту процедуру
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324
1 4 9 7 7 11 13 10 9 1 4 9 7 7 11 13 10 9
1 4 9 7 7 9 4 1 9 1 4 9 7 7 9 4 1 9
Цикл повторяется и состоит из 9 цифр: (1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9)
а) 541 число - это первое число цикла после 60 прокруток цикла, т.е. 541 число равно 1
Ответ: 1
б) S(550) содержит 61 цикл и еще первое число
61*(1+4+9+7+7+9+4+1+9)+1=3112
Ответ: 3112
в) cумма 542 чисел обязательно включает 60 циклов, т. е. 60*51=3060 и еще 2 каких-либо подряд идущих числа:
1 и 4 1+4=5 3060+5=3065
4 и 9 4+9=13 3060+13=3073
9 и 7 9+7=16 3060+16=3076
7 и 7 7+7=14 3060+14=3074
7 и 9 7+9=16 3060+16=3076
9 и 4 9+4=13 3060+13=3073
4 и 1 4+1=5 3060+5=3065
1 и 9 1+9=10 3060+10=3070
9 и 1 9+1=10 3060+10=3070
так как некоторые суммы повторяются, то выписываем эти числа без повторений и находим наибольшую
Ответ: 3076