Десять игроков в пейнтбол расположились на плоской местности так, что все попарные расстояния между ними различны, и никакие три игрока не находятся на одной прямой. Каждый игрок выстрелил шариком с краской и попал в двух игроков: ближайшего к нему, а также самого удалённого. Какое наибольшее число шариков могло попасть в одного и того же игрока?

ПОПАРНО - это значит так: 

1 ≠ 9
1 ≠ 8
1 ≠ 7
1 ≠ 6
1 ≠ 5
1 ≠ 4
1 ≠ 3
1 ≠ 2

2 ≠ 9
2 ≠ 8
2 ≠ 7
2 ≠ 6
2 ≠ 5
2 ≠ 4
2 ≠ 3

3 ≠ 9
... 
и т.д., вплоть до сравнения цифры "9". Сравнивая "1", мы сравниваем расстояние между первым игроком и вторым с расстояниями между другими игроками (которые представлены в виде других цифр). Сравнивая цифру "2" - сравниваем расстояние между вторым игроком и третьим с расстояниями между другими игроками, сравнивая цифру "3",... и т. д.

Так вот, ПОПАРНО - это значит, что все числа различны во ВСЕХ представленных выше ПАРАХ чисел.

1 ≠ 9 - это пара чисел, которая различна.

На рисунке показано расположение игроков, удовлетворяющее условиям задачи.

Исходя из манипуляции со сравнениями и глядя на рисунок, можно убедиться, что ВСЕ расстояния между всеми игроками различны. На рисунке выходит очень интересная вещь: каждая последующая комбинация из трёх игроков образует треугольники. Причём образует прямоугольные треугольники.)

Размышляем:

Согласно условиям задачи: "каждый игрок выстрелил шариком с краской и попал в двух игроков: ближайшего к нему, а также самого удалённого". То есть получается, что 1-й выстрелил во 2-го и в 10-го. Так как расстояние от 1-го до 2-го короче, чем расстояние от 1-го до 3-го, а 10-й является самым дальним игроком по отношению к 1-ому. 

Далее, пользуемся правилами геометрии, в частности правилами прямоугольного треугольника: "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета, следовательно гипотенуза больше любого из катетов". Что это значит? А значит то, что расстояние между 1-м игроком и 3-им и будет являться гипотенузой. А расстояние между 1-м и 2-м будет катетом. Рисунок сделан на листочке в клеточку, так что посчитать катеты и гипотенузы каждого из треугольников не составит труда, если взять за единицу измерения 1кл. = 1см. Таким образом, просчитав всех, вплоть до 7 игрока, выясняем, что каждый попал в ближайшего и в 10-го. Почему до 7-го? Потому что 7-й игрок является серединой данной общей позиции и мы визуально ещё можем определить то, что 10-й является самым дальним для 1, 2, 3, 4, 5, и 6-го игроков, но вот для 7-го дальним может оказаться уже не 10-й, а 1-й. Как понять? Можно, конечно, просто взять линейку и измерить расстояние от 7-го до 1-го, а затем от 7-го до 10-го и сравнить полученные измерения. Но раз уж мы ударились в геометрию, то сделаем следующее:

Расстояние от 7-го до 1-го и от 7-го до 10-го будут являться гипотенузами, если мы достроим эти прямые до треугольников. На рисунке показано.) Вычисления:

Гипотенуза (расстояние) от 7-го до 1-го = 9² + 12² = 225 = 15², то есть наша гипотенуза равна 15 кл. = 15 см.

Гипотенуза от 7-го до 10-го = 8² + 16² = 320 = 17,88854...² ≈ 18 кл. = 18 см.

18 > 15, следовательно для 7-го как и для предыдущих игроков самым дальним будет являться 10-й. Далее уже понятно, что для 8, 9 и 10-го самым дальним будет 1-й игрок. Остаётся подсчитать, сколько же максимально шариков могло попасть в одного и того же игрока.

Очевидно, что это 10-й, потому что в остальных кроме 1-го и 2-го попало по одному шарику. Считаем:

1-й попал во 2-го и в 10-го
2-й в 1-го и в 10-го
3-й во 2-го и в 10-го
4-й в 3-го и в 10-го
5-й в 4-го и в 10-го
6-й в 5-го и в 10-го
7-й в 6-го и в 10-го
8-й в 7-го и в 1-го
9-й в 8-го и в 1-го
10-й в 9-го и в 1-го

Получается, что в 1-го попали 4 раза, во 2-го - 2 раза, в 10-го - 7 раз. 

Ну вот и ответ: 7 раз.

P.S. Я тут посмотрел, что это олимпиадная задача для 6 класса!? Получается, что эту задачу можно решить гораздо проще! Тем более, что геометрия начинается только в 7... Вот уж не знаю... То ли я действительно люблю всё усложнять, то ли я настолько слеп, что не вижу очевидного. Или я просто всё неправильно решил. Но логика подсказывает, что всё в ажуре...)