profile
Опубликовано 2 года назад по предмету Математика от bodboa

помогите решить y''-3y'=x^2-3x

  1. Ответ
    Ответ дан Сергей1972

    y(общ.реш) = y(о.о) + y(ч.н.) 
    Для нахождения y(о.о) правую часть приравняем к нулю: 
    y'' - 3y' = 0 
    составим характерестическое уравнение: 
    k^2 - 3k = 0 => k(k-3) = 0 
    корни этого уравнения: 
    k1,2 = 0;3 
    Откуда : 
    y(о.о) = c1*e^(o*t) + c2*e^(3t) = c1 + c2*e^(3t) 
    частное неоднородное y(ч.н.) ищем в виде 
    y(ч.н.) = x(A*x + B) 
    теперь осталось найти неизвестные коэффициенты A и B 
    для этого продифферинцируем y(ч.н.) дважды по х : 
    y(ч.н.) = x(A*x + B) 
    y'(ч.н.) = 2Ax + B 
    y''(ч.н.) = 2A 
    подставим в исходное ауравнение и приравняем к правой части: 
    2A - 3*(2Ax + B) + 0*(x(A*x + B) ) = 3x + 2 
    2A - 6Ax - 3B = 3x + 2 
    -6Ax + ( 2A - 3B) = 3x + 2 
    -6A = 3 => A = -1/2 
    2A - 3B = 2 => B = ( 2 - 2*(-1/2))/-3 = -1 
    итак : 
    y(ч.н.) = x( (-1/2)*x -1) = -(1/2)*x^2 - x 
    тогда общее решение этого уравнения: 
    y(общ.реш) = y(о.о) + y(ч.н.) = c1 + c2*e^(3t) -(1/2)*x^2 - x

Самые новые вопросы