profile
Опубликовано 4 года назад по предмету Математика от emblerik

Доказать, что 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/(2 в n-ой) < 1.

 

Объясните, пожалуйста, подробно (8 класс).

  1. Ответ
    Ответ дан bearcab

    Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. У нее есть формула для вычисления.

     

    S=frac{b_1}{1-q}quad(1)

     

    Здесь b_1 - первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен 0,5.

     

    q - знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен отношению каждого последующего члена прогрессии к предыдущему члену.

     

    q=frac{b_2}{b_1}

     

    q=frac{frac{1}{4}}{frac{1}{2}}

     

    q=frac{1}{4}*2

     

    q=frac{1}{2}

     

    Подставим в формулу (1) все значения.

     

    S=frac{frac{1}{2}}{1-frac{1}{2}}

     

    S=frac{frac{1}{2}}{frac{1}{2}}

     

    S=1.

     

    В данном случае n - какое-то конечное число, а сумма взята в случае n to infty.

     

    То есть при любом конечном n, данная сумма всегда будет меньше 1.

Самые новые вопросы