3.из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей
площадки. найти размеры сечения балки . если радиус сечения бревна равен
20.

Сечение балки по отношению к сечению бревна, из которого она вырезана, будем рассматривать как прямоугольник, вписанный в окружность.
Обозначим через a, b стороны прямоугольника, через d его диагональ, S - площадь прямоугольника (сечения).
Для вписанного в окружность четырёхугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон, следовательно, для прямоугольника можно записать d2 = a2+b2. Так как S=a·b, то b=S/a, отсюда d2 = a2 + S2/a2. Следовательно, S2 = a2(d2-a2).
Для удобства будем рассматривать квадрат площади, так как при максимальном значении площади будет максимальным и её квадрат.
Длина диагонали вписанного в окружность прямоугольника равна диаметру этой окружности, поэтому S2 = a2((2·20)2-a2) = a2(1600-a2) = 1600a2-a4
Для того, чтобы найти максимум или минимум функции, нужно взять от неё производную и приравнять к нулю.
 ( 1600a2-a4)' = 3200a-4a3
3200a-4a3 = 0
a(3200-4a2) = 0
a=0 - в этом случае никакого бруска не будет
3200-4a2 = 0
a2=800
a = 20√2 см
Квадрат площади сечения в этом случае будет равен S2 = 800·1600 - 8002 = 640000 см4
Площадь будет равна S = √640000 = 800 см2
Длина второй стороны прямоугольника будет равна b = 800/20√2 = 20√2 см.
Для того, чтобы сечение балки было максимальным, нужно, чтобы оно представляло собой квадрат со сторонами 20√2 см, тогда площадь сечения будет равна 800 см2.