Основанием пирамиды SABC служит треугольник, у которого AB=BC=20 см, АС=32 см. Углы между плоскостью основания и каждой из боковых граней равны 45 градусов. Найдите объем пирамиды

  Формула объема пирамиды  V=H•S•1/3. Площадь основания S=h•a. По условию ∆ АВС равнобедренный, поэтому его высота ВН является медианой и биссектрисой. АН=СН=16 см. Из ∆ АВH  по т.Пифагора ВН=√(AB²-AH²)=√(20²-16²)=12 см. ⇒ S=12•32:2=192 см² .

  Углы между плоскостью основания и каждой из боковых граней  равны 45°, значит,  высоты боковых граней ( наклонных) и их проекции на плоскость  основания  перпендикулярны ребру при основании и образуют линейный угол двугранного угла=45°.  Высоты боковых граней  равны между собой. Их проекции равны радиусу r вписанной окружности. r=S:p, где S - площадь треугольника, р - его полупериметр.  Из суммы длин сторон треугольника р=(2•20+32):2=36 см.⇒  r=192:36=16/3 см. Треугольники, образованные высотой пирамиды SO, радиусом вписанной окружности и высотой боковой грани - прямоугольные равнобедренные ( угол МSO=SMO=45°, следовательно, SO=МО=НО=16/3.  V(SABC)=(1024/3192•16/3):3=1024/3 см³