продолжение высоты BD и биссектрисы BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках D1 и K1 соответственно, при этом BD=DD1 и BK:BK1=3:8.Найти стороны треугольника, если радиус описанной окружности равен R.

т.к. BD=DD1 и AC _|_ BD => AC --- диаметр...
(((серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности)))
АС = 2R
на диаметр окружности опирается прямоугольный треугольник =>
угол В = 90 градусов
т.к. ВК --- биссектриса =>
вписанные углы АВК1 = CВК1 => центральные углы АОК1 = СОК1 =>
треугольники АОК1 = СОК1 => АК1 = СК1 => 
треугольник АСК1 --- прямоугольный и равнобедренный и
К1О --- высота, биссектриса и медиана...
раз задано соотношение сторон --- нужно искать подобные треугольники...
в равнобедренном треугольнике ВОК1 (((ВО=ОК1=R)))
проведем высоту к основанию (это будет и медиана...= OT )))
на рисунке я не все точки подписала ((чтобы не запутаться...)))
главное верно найти равные углы в подобных треугольниках...
подобные треугольники КОТ и К1ОТ --- в них углы равны...
ВК/ВК1 = 3/8
8*ВК = 3*ВК1
ВК = (3/8)*ВК1 => KK1 = (5/8)*BK1
TK1 = (1/2)*BK1 = (4/8)*BK1 = BT => KT = (1/8)*BK1
КТ / КО = ТО / К1О
((высота к гипотенузе --- среднее геометрическое отрезков гипотенузы))) =>
TO^2 = KT*TK1 = (BK1 / 8)*(BK1 / 2) = (BK1)^2 / 16
TO = BK1 / 4 
KO / KT = OK1 / TO => KO = KT*R / TO
KO = (BK1 / 8)*R / (BK1 / 4) = R / 2
=> AK = R / 2
биссектриса треугольника делит сторону (к которой проведена))) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
=> AK / AB = KC / BC
R / 2*AB = 3*R / 2*BC (((KC = KO+OC = R/2 + R = 3*R/2 )))
BC = 3*AB
а т.к. АВС --- прямоугольный, то AB^2 + BC^2 = (2*R)^2
AB^2 + 9*AB^2 = 4*R^2
10*AB^2 = 4*R^2
AB = 0.2*V10*R
BC = 0.6*V10*R
------------------------
ох, хорошая задача --- редко пропорциональность используется так опосредовано (не напрямую)...
надеюсь, нигде в арифметике не ошиблась...