ГЕОМЕТРИЯ 20 БАЛЛОВ
В треугольнике ABC длина стороны AB равна 10, а длина стороны AC равна n, где n — натуральное число. При скольких значениях n можно подобрать длину стороны BC такую, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC со стороной BC делили её на три равных отрезка?

Пусть сторона BC=x. Как известно, расстояние от вершины B треугольника ABC до точки D касания стороны BC с вписанной  окружностью равно p-n=(10+x-n)/2. Как известно, расстояние от вершины C до точки E касания стороны BC с вневписанной окружностью также равно p-n. Возможны два случая.

1 случай. Точка D лежит между B и E. Тогда должно выполняться BD=DE=EC, откуда 3(p-n)=x; x=3n-30 (в частности, отсюда следует, что n>10). Выпишем еще три неравенства треугольника:

10+n>x; 10+x>n; n+x>10. Два последних дают x>|n-10|, а поскольку по доказанному n>10, имеем |n-10|=n-10, то есть x>n-10.

Подставим в неравенства 10+n>x и x>n-10 значение x=3n-30:

10+n>3n-30 и 3n-30>n-10; то есть

2n<40 и 2n>20; то есть 10<n<20, то есть n=11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

2 случай. Точка D лежит между E и C. Тогда BD/2=x/3; откуда x=30-3n, то есть n<10. Из неравенств треугольника в этом случае мы получаем

10+n>x и x>10-n. Подставляем в эти неравенства значение x=30-3n:

10+n>30-3n и 30-3n>10-n; 4n>20 и 2n<20; 5<n<10, то есть n=6, 7, 8, 9.

Ответ: 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.