Дан куб АВСДА1Б1С1Д1. Допустим Q - центр грани АБСД, Q1- центр грани А1Б1С1Д1. Доказать что плоскость проведённая через середины отрезков ДС, Д1С1 и СQ является параллельной плоскостью что проходит через Q, Q1 и Д1

Построим сечение куба плоскостью проходящей через точки H (середина стороны DC), H1 (середина стороны D1C1) и M (середина отрезка CQ)

Соединим H с H1, продолжим отрезок HM до пересечения со стороной BC в точке K. Рассмотрев ΔBCD, видим, что отрезок HM проходит через середины стороны CD и высоты CQ, а следовательно KM является средней линией ΔBCD. Тогда K - середина стороны BC. Т.к. A1B1C1D1 || ABCD, то плоскость KHH1 пересекает их по параллельным прямым. Прямая параллельная KH и принадлежащая плоскости A1B1C1D1 и проходящая через точку H1 также будет средней линией K1H1, но в ΔC1B1D1.

Окончательно получаем в сечении прямоугольник KHH1K1.

Теперь построим сечение проходящее через точки Q, Q1 и D1

Проводим прямую через точки Q1 и D1 в плоскости A1B1C1D1 - это будет диагональ B1D1. Проводим прямую параллельную ей и принадлежащую плоскости ABCD и проходящую через точку Q - это будет диагональ BD. Окончательно получаем в сечении прямоугольник BDD1B1

BD || KH (KH - средняя линия ΔBCD)

BB1 || KK1 (KK1 - средняя линия квадрата BB1C1C)

BD пересекается с BB1 в точке B

KH пересекается с KK1 в точке K

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны ⇒ BDD1B1 || KHH1K1.