Опубликовано 6 лет назад по предмету Геометрия от Princessa1998

ПОЖАЙЛУСТА, ОЧЕНЬ НАДО!

Даны точки А( -1;0), В(0; 3), С(6; 1)
1.а) найдите координат и длину вектора АВ.
б) разложите вектор АВ по координатным векторам i (вектор) и j (вектор).
2. а) напишите уравнение окружности с центром в точке А и радиусом АВ.
б) принадлежит ли этой окружности точка D(5; -2) ?
3. напишите уравнение прямой АВ.
4. а) докажите, что векторы АВ и СД коллинеарны.
б) Докажите, что АВСД - прямоугольник.

Ответ

Ответ дан xERISx

А(-1; 0), В(0; 3), С(6; 1)
1.а)
$vec {AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A)=(0-(-1);3-0)=(1;3)\\|vec {AB}|=sqrt{x^2_{vec {AB}}+y^2_{vec {AB}}}=sqrt{1^2+3^2}=sqrt {10}$
1.б)
$vec {AB}=x_{vec {AB}}cdot vec i+y_{vec {AB}}cdot vec j=vec i+3vec j\\boldsymbol{vec {AB} (1;3);~~~~|vec {AB}|=sqrt{10};~~~~vec {AB}=vec i+3vec j}$
2.a) Общий вид окружности с центром в точке (x₀; y₀) и радиусом R
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$
А(-1; 0) ; $R=|vec {AB}|=sqrt{10}$
(x -(-1))² + (y - 0)² = (√10)²
(x + 1)² + y² = 10 - уравнение окружности
2.б) D(5; -2) : (5 + 1)² + (-2)² = 36 + 4 = 40 ≠ 10
Точка D не принадлежит окружности.
3. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (x₀; y₀) и направляющим вектором $vec p~(p_1;p_2)$ :
$dfrac {x-x_0}{p1}=dfrac{y-y_0}{p_2}$
$vec {AB} (1;3);~~~~A(-1; 0)\\dfrac{x+1}1=dfrac{y-0}3;~~~~boldsymbol{y=3x+3}$ - уравнение прямой
4.a) У коллинеарных векторов соответственные координаты пропорциональны.
$vec {AB}=(1;3);~~vec {CD}=(5-6;-2-1)=(-1;-3)\\dfrac{x_vec{AB}}{x_vec{CD}}=dfrac 1{-1}=-1=dfrac 3{-3}=dfrac{y_vec{AB}}{y_vec{CD}}$
Координаты пропорциональны, значит, векторы коллинеарны.
4.б) Так как векторы $vec {AB};~vec {CD}$ коллинеарны, значит, стороны AB║CD. Противоположные стороны параллельны и равны :
$|vec {AB}|=sqrt{10};~~|vec{CD}|=sqrt{(-1)^2+(-3)^3}=sqrt{10}$
$vec {AB}=(1;3);~~vec {AD}=(5+1;-2-0)=(6;-2)\\vec {AB}cdot vec {AD}=1cdot 6 + 3cdot (-2)=6-6=0$
Скалярное произведение векторов $vec {AB};~vec {AD}$ равно нулю, значит, векторы перпендикулярны, то есть ∠BAD=90°.
Итак, противоположные стороны параллельны и равны : AB║CD и AB=CD, ∠BAD=90° ⇒ ABCD - прямоугольник.