B правильной треугольной пирамиде sabc с вершиной s все ребра которой равны 6, точка М - середина ребра вс, точка О - центр основания пирамиды, точка F делит отрезок so в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью ncf и плоскостью abc

B правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S все ребра которой равны 6, точка М - середина ребра BC, точка О - центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

––––––––––––––––

Угол между плоскостями - это угол между прямыми, проведенными перпендикулярно к общей точке на линии пересечения этих плоскостей. АМ⊥ВС, и  FM ⊥ ВС по т.о трех перпендикулярах. ОМF- искомый угол.

Треугольник ОМF- прямоугольный, т.к. высота SO пирамиды перпендикулярна ее основанию, значит, и любой прямой, проходящей через точку О. 

Для ответа на вопрос задачи нужно найти стороны треугольника FMO. 

О  - центр вписанной (и описанной) в правильный треугольник окружности. 

ОМ - радиус вписанной окружности 

r=a/(2•√3)⇒

OM=[(6√3):2]:3 

После сокращений получаем ОМ=√3

FO= 2/3 SO, т.к. SF:OF=1:2

SO найдем из ⊿ SOB

ВО - радиус описанной окружности и вдвое больше радиуса вписанной окружности:

ВО=2√3 

SO=√( SB²-BO² )=√24 ⇒

FO=(√24):3•2 =[√(3•4•2)]:3•2 после сокращений получим

FO=(4√2):√3

tg FMO=FO:OM=(4√2):3, что по таблице соответсвует  углу ≈ 62º3'