Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. Найти отношение площади треугольника АКМ к площади четырехугольника КРСМ.

Эта задача дана в эти дни в трех разных вариантах отношения площадей. 

Решение мною дано к этому варианту другому пользователю днем раньше.. Это несколько подробнее. 

 Решение:

.Сделаем рисунок, стараясь соблюдать по возможности отношение сторон в нем

  соразмерным данным задачи.

АС=3 АВ  по условию. 
АМ=МС - так как   ВМ - медиана, и точка М делит АС пополам,
  АВ биссектриса и делит угол А пополам. ( В решении равенство углов не пригодится). 

Для того, чтобы проще было следить за решением,  обозначим  площадь ᐃ АВС=S

Площади треугольников с равной высотой и равными основаниями равны. 

  АМ=МС и равны половине АС,   высота треугольников АВМ и ВМС  одна и та же,⇒

площадь ᐃ АВМ=площади ᐃ МВС=0,5 S

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную 
сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон 

Следовательно, ВР:РС=АВ:АС=1:3

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Площади Δ ВАР и Δ РАС, имеющих общую высоту из А к ВС, относятся как длины их оснований, т.е

площадь Δ ВАР : Δ РАС.= 1:3
Площадь АВС=S =4 площади треугольника ВАР

( т.к.площадь  Δ РАС=3 площади Δ ВАР, всего 4 площади Δ ВАР)

Площадь Δ ВАР=1/4S=0,25 S ( высота Δ ВАР и  Δ ВАС одна и та же, а отношение оснований ВР:ВС=1:4))
⇒ площадь Δ РАС =S- 0,25 S = 0, 75 S

Рассмотрим треугольник АВМ. 
АК- биссектриса угла АВМ

АМ=АС:2=3 АВ:2=1,5 АВ

Отсюда ВК:КМ=АВ:1,5 АВ  (смотри свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника)
ВК:КМ=1:1,5

Площадь Δ АВМ= 0,5 S 
0,5 S= площадь Δ МАК+ площадь Δ КАВ=2,5 площади  Δ КАВ
Площадь Δ BАК=0,5 S:2,5= 0,2 S
Площадь Δ МАК=1,5 площ. Δ КАВ =0,2*1,5= 0,3 S
Площ. МКРС=пл Δ РАС - пл Δ МАК

Площ. МКРС=0,75 S - 0,3 S= 0,45 S
Площадь Δ МАК : площ. МКРС=0,3 S : 0,45 S= 10/15=2/3