На сторонах АВ и ВС треугольника АВС как на основаниях построены одинаково ориентированные квадраты АВМN и ВСОР. Обозначим их центры через О1 и О2, середину стороны АС – через К, а середину отрезка МР - через L. Доказать, что четырёхугольник O1LO2К - квадрат. ПОМОГИТЕ, СРОЧНО НАДО НА ЗАЧЁТ!

Не смотря на то, что эта задача есть в задачнике Прасолова, номер 18.7, с решением, я решил выложить свое решение. Метод тот же - векторный, но я немного отредактировал и условие и решение - по-моему, так понятнее.

На вложенном чертеже показано, как вводится "базовая" четверка векторов - это две пары взаимно перпендикулярных и равных по величине векторов, то есть

lal = lbl; (или, то же самое, a = b, жирным отмечен вектор, а обычным шрифтом - его модуль); 

ab = 0; 

lcl =ldl; (c = d)

cd = 0;

На вложенном рисунке показано, как стороны искомой фигуры выражаются через эту четверку векторов. Уже очевидно, что эта фигура - параллелограмм.

Далее, угол между векторами a и d и угол между векторами c и b в сумме составляют 180°, поэтому ad = - cb;  

Отсюда q1q4 = (c - a)(d - b)/4 = (-ad - cb)/4 = 0; угол между двумя сторонами - прямой, то есть эта фигура - прямоугольник.

Теперь надо показать, что соседние стороны равны по величине. Легко видеть, что

lq1l^2 = (c - a)^2/4 = (c^2 + a^2 - 2ac)/4;

lq2l^2 = (d - b)^2/4 = (d^2 + b^2 - 2db)/4;

Поскольку пара векторов  a и c при повороте на 90° переходит в пару векторов b и d, то углы между этими парами векторов равны, то есть ac = bd,

(именно поэтому эта задача Прасоловым помещена в раздел " повороты на 90° ")

и q1 = q2 (модули!)

Это завершает доказательство того, что искомая фигура - квадрат.