На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками её пересечения с двумя другими сторонами треугольника.

Попробую,может не верно,посмотри)

Отметим середину стороны АС точкой Е. АЕ и ЕС получится половина диаметра, то есь радиус. 

Проведем DE  и EF  (они тоже будут радиусами).

Проведем DF

Треугольники ADE и EFC получаются равнобедренные   и равны друг другу (AE=DE=FE=EC-т.к. радиусы), следовательно углы при их основаниях равны, а так как треугольник ABC равнобедренный, то и все эти углы равны между собой.

Потом не знаю как,но треугольник DFE тоже равен треугольникам ADE И EFC (может через угол при параллелиных прямых можно доказать,но как?)
Ну и получается что углы AED и DEF и FEC равны, а равные центральные углы содержат равные дуги, что и требовалось доказать. 

@mlisfs AE=DE=FE=CE=r

треугольник ABC - равносторонний, значит <BAC=60, он же <DAE

в треугольнике ADE DE=EF, значит <DAE=<ADE=60 и треугольник - равносторонний, по такому же принципу и другие треугольники

значит

<AED=дугеAD=DF=FC=60, тоесть равные дуги