Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины столроны АВ. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК.

Найдем, какую часть площади искомых треугольников составляют от площади треугольника АВС:

Медиана делит треугольник на два равновеликих, значит
S (ABM) = S (CBM) = 1/2 S (ABC)                            (1)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
и
Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся, как стороны, к которым проведена высота (доказательство на нижнем рисунке).

АР - биссектриса ΔАВС, ⇒
BP : PC = AB : AC = 1 : 3
Треугольники АВР и АСР имеют общую высоту, проведенную из вершины А, поэтому отношение их площадей:
S (ABP) : S (ACP) = BP : PC = 1 : 3, т.е
S (ABP) = 1/4 S (ABC)

АР - биссектриса и треугольника АВМ, значит
BK : KM = AB : AM = 1 : (3/2) = 2 : 3  (так как АМ = 1/2 АС)
Треугольники АВК и АМК имеют общую высоту, проведенную из вершины А, значит:
S (ABK) : S (AMK) = BK : KM = 2 : 3, т.е.
S (ABK) = 2/5 S (ABM) = 1/5 S (ABC)    ( с учетом (1) )
S (AMK) = 3/5 S (ABM) = 3/10 S (ABC)

S(BKP) = S (ABP) - S (ABK) = 1/4 S (ABC) - 1/5 S (ABC) = 1/20 S (ABC)

S (BKP) : S (AMK) = (1/20) : (3/10) = 1 : 6