profile
Опубликовано 1 год назад по предмету Геометрия от Gviona

Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины столроны АВ. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК.

  1. Ответ
    Ответ дан KuOV
    Найдем, какую часть площади искомых треугольников составляют от площади треугольника АВС:

    Медиана делит треугольник на два равновеликих, значит
    S (ABM) = S (CBM) = 1/2 S (ABC)                            (1)

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
    и
    Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся, как стороны, к которым проведена высота (доказательство на нижнем рисунке).

    АР - биссектриса ΔАВС, ⇒
    BP : PC = AB : AC = 1 : 3
    Треугольники АВР и АСР имеют общую высоту, проведенную из вершины А, поэтому отношение их площадей:
    S (ABP) : S (ACP) = BP : PC = 1 : 3, т.е
    S (ABP) = 1/4 S (ABC)

    АР - биссектриса и треугольника АВМ, значит
    BK : KM = AB : AM = 1 : (3/2) = 2 : 3  (так как АМ = 1/2 АС)
    Треугольники АВК и АМК имеют общую высоту, проведенную из вершины А, значит:
    S (ABK) : S (AMK) = BK : KM = 2 : 3, т.е.
    S (ABK) = 2/5 S (ABM) = 1/5 S (ABC)    ( с учетом (1) )
    S (AMK) = 3/5 S (ABM) = 3/10 S (ABC)

    S(BKP) = S (ABP) - S (ABK) = 1/4 S (ABC) - 1/5 S (ABC) = 1/20 S (ABC)

    S (BKP) : S (AMK) = (1/20) : (3/10) = 1 : 6
Самые новые вопросы