Хорды MN и PK пересекаются в точке E так, что ME = 12 см, NE = 3 см, PE = KE. Найдите PK.

Даны две пересекающиеся хорды. Длины отрезков хорды MN равны 12 и 3. Пусть длины каждого из  отрезков второй хорды будут а, т.к. они по условию равны. 

Углы с вершинами Р и N вписанные и опираются на одну и ту же дугу. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. ⇒    ∠ MPК =∠МNK .

Соединим отрезками точки  М и Р   и точки K и N

В треугольниках MPЕ  и  ЕNK углы  при Е равны как вертикальные, ∠ MPЕ =∠ЕNK . ⇒

∆ MPЕ  ~∆ ЕNK по первому признаку подобия треугольников. 

Из подобия следует отношение сходственных сторон:

МЕ:КЕ=РЕ:ЕN ⇒

ME•EN=KE•PE

12•3=а²

а=√36=6 

РК=6•2=12 см

________________

Данный способ решения применён при доказательстве теоремы:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Её применение сделает запись  решения короче:

По свойству пересекающихся хорд 

МЕ•EN=PE•KE

По условию РЕ=ЕК, ⇒

РЕ²=12•3

РЕ=√36=6

РК=6•2=12 см