В трапецию ABCD можно вписать окружность. Отрезок, соединяющий вершину C и середину основания AD, является биссектрисой угла BCD. Боковые стороны трапеции AB=17 и CD=9. Найдите площадь трапеции и длину ее диагонали AC. Уже пол часа пытаюсь решить и не получается, я думаю что в условии опечатка или у меня где-то ошибка. Первое основание получается 18 а второе 8, а с боковыми сторонами 17 и 9 как такое ваще может быть? Ответы:S=468/5 AC=(9/5)*sqrt(185)

Раз Вы даете еще очки, беру... копирую свое же решение :) со всем комментариями.

Ну, все Ваши трудности из за того, что Вы не видите, что угол D - тупой. Поэтому вершина С проектируется не на основание AD, а на продолжение её за точку D.

Обозначения. Е - середина AD, M - проекция В на AD, К - проекция С на продолжение AD.

x = АМ, y = DK, h = BM = CK (это высота трапеции).

1. Вы правильно нашли основания. Треугольник CED равнобедренный, потому что угол CED равен углу ECB, который равен углу ECD, потому что СЕ - биссектриса. Поэтому CD = DE = 9, и AD = 18 (Е - середина AD). Далее, поскольку в трапецию можно вписать окружность,сумма боковых сторон равна сумме оснований, откуда второе основание равно 17 + 9 - 18 = 8.

2. Осталось найти высоту. 

Ясно, что AD = AM + MK - DK = AM + BC - DK; откуда 18 = x - y + 8; x - y = 10;

Далее, x^2 + h^2 = 17^2; y^2 + h^2 = 9^2; если вычесть одно из другого, получится

x^2 - y^2 = 17^2 - 9^2 = 208; или (x + y)*(x - y) = 208; с учетом x - y = 10 получается

x + y = 20,8

x - y = 10

Отсюда x = 15,4; y = 5,4; 

h^2 = 9^2 - y^2; легко сосчитать, что h = 7,2.

******

Небольшое отступление (если бы не оно, я бы и не стал делать эту очень сложную :) задачу). Три числа 5,4; 7,2; 9 с коэффициентом 1,8 кратны первой Пифагоровой тройке 3,4,5 (проверьте:)). Вот с числами 7,2; 15,4; 17 - интереснее (это стороны треугольника АВМ). Здесь "срабатывает" редкая для школьных задач Пифагорова тройка 36, 77, 85 - стороны треугольника АВМ в 5 раз меньше.

******

S = 7,2*(18 + 8)/2 = 93,6 = 438/5;

Диагональ АС получается из треугольника АКС, в котором АК = 15,4 + 8 = 23,4; CK = 7,2;

AC^2 = 23,4^2 + 7,2^2 = 599,4 = (81/25)*185; откуда получается ответ.

Судя по "истории задания " тут и тут http://znanija.com/task/2140826 вокруг этой задачи идет какая-то не здоровая возня. Поскольку сама по себе задача элементарная, в случае возникновения каких-то "сомнений"  я разрешаю смело удалять мое решение и там и там. 

Приведенное решение совершенно верно. Только с одной маленькой поправкой: приведено без доказательств двух фактов:

Факт №1. Сумма оснований равна сумме боковых сторон. Прежде чем использовать это свойство, следовало бы его доказать.

Факт №2. В трапеции есть два тупых угла. Думаю, стоило бы рассмотреть три случая: прямоугольная трапеция, остроугольная и тупоугольная, показав, что ситуации, описанной в условии, удовлетворяет именно последняя.

В остальном претензий не имею.

Про пифагоровы тройки с дробными числами вообще мало кто знает. Если хотите связать свой дальнейший путь с математикой, обратите на это внимание.