Докажите,что если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны,то и высота,проведённая к основанию, равна средней линии.

АВСD - равнобокая трапеция, АС и ВD диагонали, по условию они перпендикулярны.
Проведите СК параллельно диагонали ВD. К лежит на продолжении АD. Получится треугольник АСК. Он прямоугольный, потому что угол АСК= углу АОD = 90 градусов. К тому же этот треугольник равнобедренный, потому что в нем СК=АС. FR - основание треугольника.
Проведите высоту этого треугольника с вершины С. Пусть это будет отрезок СМ.
Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, будет чем ? -медианой. Значит, М - середина АК. СМ = 1/2АК = 1/2(АD + DК)
а DК = ВС, как противоположные стороны параллелограмма ВСКD.
Тогда
СМ = 1/2(а + в)
А средняя линия как раз и равна 1/2(а+в)
Значит, высота равна средней линии

В равнобедренной трапеции диагонали при пересечении образуют два равнобедренных треугольника, основаниями которых есть основания трапеции., т. е. образованные прямоугольные треугольниким равнобедренные высоты = медианам, проведенные из вершин прямого угла на гипотенузу (основание трапеции) = 1/2 гипотенузы,

вцелом высоты двух треугольников = сумме половины оснований,= средней линии