в треугольник с углами 50 и 70 вписана окружность. найдите углы треугольника вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами треугольника

третий угол в треугольнике равен 180-(50+70)=60градусов. Соединим точки касания отрезками.  Так как окружность вписанная, то стороны углов треугольника являются отрезками касательных, по свойству отрезков касательных они равны , поэтому треугольники равнобедренные. 

рассмотрим треугольник с углом 70 градусов, тогда остальные два угла равны (180-70):2=55градусов

рассмотрим треугольник с углом 50градусов. остальные углы в нём (180-50):2=65градусов

рассмотрим треугольник с углом 60градусов. Углы в нём равны (180-60):2=60градусов. 

углы в образовавшемся внутреннем треугольнике равны

180-(55+65)=60градусов

180-(55+60)=65градусов

180-(65+60)=55градусов

Объясняю методику решения на примере нахождения угла К:

Угол ВАN=углу NAC=30⁰

Угол ВСМ=углу МСА=35⁰

Угол АОС=180-(30+35)=115⁰

Дальше рассматриваем четырёхугольник, выделенный красным:

В нём два угла прямые, поскольку, для ΔMNK окружность является описанной, центр которой лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам  ΔMNK, то есть биссектрисы ΔАВС являются серединными перпендикулярами ΔMNK

Отсюда:

Угол К=360-(115+90+90)=65⁰

Подобным же образом находим:

Угол М=360-(125+90+90)=55⁰ 

Угол N=360-(120+90+90)=50⁰

Не самое короткое решение получилось...