Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: а) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является 
параллелограмм ABCD, стороны которого равны а и 2а, острый 
угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте 
параллелограмма. Найдите:
 а) меньшую высоту параллелограмма;
 б) угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания; 
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; 
г) площадь поверхности параллелепипеда.
--------
Пусть в параллелограмме ABCD, стороны которого равны а и 2а,  
сторона АВ=СD=а и
ВС=АD=2а
1) меньшая высота параллелограмма идет из вершины тупого угла 
D к большей стороне ВС и отрезает от него равнобедренный 
прямоугольный треугольник с катетами
DН=СН=СD*sin(45°)=(а√2):2=а/√2
 Найдя меньшую высоту основания, мы нашли высоту 
параллелепипеда, равную ей по условию. 
СС₁=DН=а/√2

2) Угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания:
. Проведем из С1 перпендикуляр к продолжению АВ и точку пересечения  обозначим Е. 
По теореме о 3-х перпендикулярах
С₁Е ⊥ АЕ.
Угол СЕC₁ - искомый. 
Так как тупой угол параллелограмма ABCD равен 180°-45°=135°,
 ∠ СВЕ=45° ( еще и потому, что эти углы накрестлежащие при пересечении параллельных СD и ВА секущей СВ). 
Отсюда
СЕ=ВЕ=СВ*sin(45°)=2а*(√2):2=а√2
tg ∠CЕC₁=СС₁:СЕ=а/√2):(а√2)=1/2 
∠ СЕC₁=arctg 1/2 ,

3) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению его высоты на периметр основания. 
Sбок=2*(а+2а)*СС1=6а*а/√2=3а²√2

4) Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме  площади боковой поверхности и удвоенной площади основания ( т.к. оснований два).  

Удвоенная площадь основания
2S осн=2*BC*СD*sin(45°) =2*2a*а*(√2):2=4a²(√2):2= 2a²√2
Sполн=3а²√2+2a²√2=5а²√2
---
bzs@