Катет прямоугольного треугольника равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу равна 5. Найдите гипотенузу треугольника.

из подобия треугольников (получается три и все подобны). Проекция вершины при угле 90 градусов даст перпендикуляр к гипотенузе. Этот перпендикуляр разделит исходны треугольник на 2 прямоугольных. Вот эти три подобны (у них углы одинаковые). 

Если два треугольника подобны, то стороны одного из них получаются из сторон другого умножением на некоторое положительное число (а, допустим). Тогда стороны первого из сторон второго получаются умножением на (1/а). 

Можно нарисовать картинку и получить пару уравнений относительно длины отрезка гипотенузы, на который не попала проекция катета (пусть это х). И коэффициента подобия (пусть к) при переходе от исходного к тому внутреннему, у которого сторона (один из катетов) равна пяти. 

6^2 = (6к)^2 + х^2 
5^2 + (6к)^2 = (5 / к)^2 (оно биквадратное). 

Их второго к = sqrt(5) / 2 или sqrt(5) /3 

Первый из них не подходит для первого из уравнений выразите х^2 и увидите при подстановке,что квадрат х отрицателен будет; или сразу заметьте, что при к = sqrt(5) / 2 > 1 будет 6 меньше чем 6к). 

Из первого можно х найти. x = 4 

Гипотенуза исходного = 5 + 4 = 9. 

Второй катет ---5 / к = 3*sqrt(5). 

пусть треугольник АВС

угол А=90

проведем перепендикуляр АМ

МС-проекция АС=5

Следствие из теоремы Пифагора: квдрат катета равен проекции этого катета на гипотенузу, умноженному на гипотенузу. 

пусть ВМ-х

АВ^2=х(х+5)

36=x^2+5x

x₁=2

x₂=-7 не подходит

ВМ=2

ВС=7