Дана четырёхугольная пирамида SABCD,проведено сечение KLNM которое пересекает боковые рёбра SA,SB,SC,SD ,известно что SK=AS/k,SL=SB/l,SM=SD/m SN=SC/n,тогда
докажите (желательно используя векторы a,b,c,d(SA,SB,SC,SD соответственно) )что k+n=l+m

Пусть 4 вектора SA, SB, SC, SD имеют общее начало, и никакие три из них не являются компланарными. В трехмерном пространстве эти вектора не являются линейно независимыми, то есть всегда существуют такие числа
х, y, z, что
SD = x*SA + y*SB + z*SC;
Разложение это единственно для данной четверки векторов.
Допустим, что точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.
Тогда вектора SD - SA, SB - SA, SC - SA компланарны, то есть опять таки один из них является линейной комбинацией двух других, и существуют такие (однозначно определенные для данной тройки векторов, лежащих в одной плоскости) числа y и z, то
SD  - SA = y*(SB - SA) + z*(SC - SA); или
SD = (1 - y - z)*SA + y*SB + z*SC;
То есть ИЗ ТОГО, что точки ABCD принадлежат одной плоскости, ВЫТЕКАЕТ, что разложении  вектора SD сумма коэффициентов равна 1.
x  = 1 - y  - z; или x + y + z = 1;
(Можно доказать, что это не только необходимое, но и достаточное условие того, что концы векторов, выходящих из одной точки, лежат в одной плоскости. Это - теоретический вопрос, его можно найти в любом учебнике. Мне было необходимо частично привести вывод).
Теперь надо рассмотреть 4 вектора
SK = SA/k; SL = SB/l; SM = SC/m; SN = SD/n;
Поскольку точки KLMN принадлежат одной плоскости, то существуют такие числа u, v, w, что
SN = u*SK + v*SL + w*SM; причем u + v + w  = 1;
Надо подставить сюда выражения SK ... через SD...
SD = (u*n/k)*SA + (v*n/l)*SB + (w*n/m)*SC;
Разложение единственно, поэтому
x = u*n/k; y = v*n/l; z = w*n/m;
или
u = (k/n)*x; v = (l/n)*y; w = (m/n)*z;
u + v + w = 1; =>
n = k*x + l*y + m*z; причем x + y + z = 1;
В общем случае больше ничего получить нельзя. Сначала находятся числа x и y - из геометрии задачи, а потом уже находится связь между k l m n.
Пример. Пусть SD + SB = SA + SC; такое равенство выполнено для любой правильной пирамиды, а также в случае, если в основании лежит параллелограмм общего вида (тогда каждый из векторов равен SA = SO + OA; и так далее, и OA = - OC; OB = - OD)
Легко видеть, что в этом случае x = z = 1; y = -1; и
n = k - l + m; то есть n + l = k + m;