Предположив, что корона царя Гиерона в воздухе весит 20 Н, а в воде 18,75 Н, вычислите плотность вещества короны. Полагая, что к золоту было подмешано только серебро, определите, сколько в короне было золота и сколько серебра. При решении задачи плотность золота считайте равной 20 000 кг/м3, плотность серебра — 10 000 кг/м3. Каков был бы объём короны из чистого золота?

Дано:  

Рв/возд = 20 Н;

Рв/в = 18,75 Н  

Найти: ρ короны

По закону Архимеда  

Fa = Pв/возд – Pв/в = 1,25 Н,  

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости

Fa = P=mg

найдем массу вытесненной воды:

m = Р/g = 1,25/9,8 = 0,128 кг

тогда объем вытесненной воды равен объёму короны:

V = m/ρ = 0,128/1000 = 0,000128 м³=1,28*10⁻⁴м³

Масса короны равна:

mкороны = Рв/возд /g = 20/9,8 = 2,04 кг  

найдем плотность вещества короны:  

ρкороны = mкороны/V = 2,04/1,28*10⁻⁴=15938 кг/м³

Определим, сколько было золота и серебра,  

mсеребра +mзолота=m короны

ρ₁V₁+ρ₂V₂=ρкороны*V

ρ₁=10000кг/м³

ρ₂=20000кг/м³

составим уравнение, взяв за X долю серебра в сплаве:

V₁=Х

V₂=1-Х

V=1

10000*Х + 20000(1—X) = 15938*1

10000*Х – 20000*X= 15938-20000

10000Х=4062

Х=0,4

Значит, серебра в этой короне было 40%, ну а золота — остальные 60%.

Чтобы определить объем короны из чистого золота, нужно массу разделить на плотность:

V = m/g = 2.04/20000= 0.0001 м³

Рвозд = 20Н - вес короны в воздухе

Р вод = 18,75Н - вес короны в воде

ρ вод = 1000 кг/м³ - плотность воды

g = 10 м/с² - ускорение свободного падения

ρ зол = 20 000кг/м³ - плотность золота

ρ сер = 10 000кг/м³ - плотность серебра

m спл = Рвозд : g = 20 : 10 = 2(кг) - масса сплава

V cпл - ? -  объём сплава

С одной стороны Fарх = Рвозд - Рвод , а с другой стороны по закону Архимеда Fарх = ρ вод · g · Vспл, тогда

Vспл = (Рвозд - Рвод) : (ρ вод · g) = (20 - 18,75) : (1000 · 10) = 1,25·10⁻⁴(м³)

ρ спл = m спл : V спл = 2 :  1,25·10⁻⁴ = 16 000 (кг/м³)

Для определения массы золота m зол и массы серебра m сер в сплаве cоставим два уравнения:

m зол + m сер = m cпл, откуда m зол = m спл - m cер  (1)

V спл = m зол : ρ зол + m cер : ρ сер   (2)

Подставим выражение (1) в (2)

V спл = (m спл - m cер) : ρ зол + m cер : ρ сер

V спл · ρ зол · ρ cер = (m спл - m cер) · ρ сер + m cер · ρ зол

V спл · ρ зол · ρ cер = m спл · ρ сер - m cер · ρ сер + m cер · ρ зол

m сер =  ρ сер · (V спл · ρ зол - m спл) : (ρ зол - ρ сер) =

= 10 000 · (1,25·10⁻⁴ · 20 000 - 2) : (20 000 - 10 000) = 0,5(кг)

m зол = m спл - m сер = 2 - 0,5 = 1,5(кг)

Найдём объём короны из чистого золота, имеющей вес в воздухе Рвозд = 20Н

V чист зол = Р возд : (g · ρ зол) = 20 : (10 · 20 000) = 1·10⁻⁴(м³) = 100cм³