В шаре радиуса 2R, несущем равномерно распределенный заряд с объемной плотностью р = 10мкКл/м3, сделан сферический вырез радиусом R. Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найти напряженность Е поля в точках О, А и В. Радиус R = 10 см.

Рассмотрим равномерно заряженный шар. Внутри шара можно выбрать сферическую поверхность радиусом r с центром в центре шара. Поле E везде направлено радиально, значит перпендикулярно выбранной поверхности, и зависит только от расстояния до центра шара (т.к. все симметрично).
Раз поле везде на поверхности одинаково и перпендикулярно ей, значит поток поля E через поверхность:
Ф(r) = E(r) S(r)
где E(r) - модуль напряженности на расстоянии r от центра, а S(r) - площадь поверхности сферы радиусом r. (S(r)=4пr^2)
По теореме Гаусса поток равен (с точностью до множителя) полному заряду внутри поверхности:
Ф(r) = Q(r) / eo 
Q(r) = (4п/3) r^3 p - заряд внутри сферы радиусом r. (p - плотность заряда)
4 п r^2 E(r) =  (4п/3) r^3 p

E(r) = p r /3 - Напряженность поля внутри шара на расстоянии r от центра.

Снаружи шара поле от него как точечного заряда в центре шара.

Ну теперь вам осталось применить аддитивность. Шар с незаряженной областью это то же самое, что заряженный полностью шар, а внутри область с противоположным по знаку зарядом. на тоже шар. А поле шара внутри мы уже получили. Осталось сложить поля (векторно) и получить ответ. Удачи)