Тригонометрические уравнения.

 

1) tgx + 3ctgx = 4

 

2) + sinx = 0

 

Огромнейшая просьба писать решение максимально понятно. Ну и правильно, конечно =)

Еще было бы неплохо разборчивым почерком решить в письменном виде на листе бумаги, сфотографировать и прикрепить фото к решению. Эти уравнения много значат для меня, поэтому прошу отнестись с пониманием.

1) tg x + 3/tg x = 4, ОДЗ tg x <> 0

множим уравнение на tg(x), который по ОДЗ не ноль

(tg x)^2 - 4 tg x + 3 = 0

видим здесь квадратное уравнение относительно tg x.

а ещё видим, что сумма показателей степеней равна 1-4+3 = 0, поэтому один корень =1, второй по т.Виетта =3

уравнение распадается на совокупность

tg x = 1

tg x = 3

выписываем решение:

x = arctg(1) + pi n, где ncZ

x = arctg(3) + pi k, где kcZ

ну можно ещё вспомнить, что arctg(1) = pi/4

2) вспоминаем формулу косинуса двойного угла:

cos 2a = 2 cos^2 a - 1

если a = x/2, то исходное уравнение может быть представлено как

cos x + 1 + sin x = 0

вобщем, тут уже очевидно, что либо cos x =0, sin x =-1, либо cos x=-1, sin x =0

но чтобы совсем честно решать, придётся поколдовать.

синус направо и всё в квадрат!

(cos x +1)^2 = sin^2 x

cos^2 x + 2 cos x + 1 = 1 - cos^2 x

2 cos^2 x + 2 cos x = 0

cos x (cos x + 1) = 0

произведение обращается в ноль если хотя бы один из множителей обращается в ноль. значит опять совокупность:

cos x = 0

cos x = -1

x = pi/2 + pi n , ncZ,

x = pi + 2pi k, kcZ

но тут небольшая грабля. чуть выше мы возводили к вадрат. а нулевому косинусу соответствуют два значения синуса: +1 и -1. и один из них нам не подходит.

вобщем, проверяем корни и убеждемся, что из первой последователности половина значений выпадает (pi/2 + 2pi n НЕ являются корями. а pi/2 + pi + 2pi n - удовлетворяют)

ответ

x = 3pi/2 + 2pi n , ncZ,

x = pi + 2pi k, kcZ