Решить уравнение во вложении:

Ответ: x1=1 ; x2= (-1+√33)/2 ;  x3= (-1-√33)/2

Объяснение:

Необходимо решить следующее уравнение:

x^3+8=9*∛(9x-8)

Преобразуем данное уравнение:

x^3= 9*∛(9x-8) -8

x=∛( 9*∛(9x-8) -8 )

Пусть: f(x)=∛(9x-8)

Тогда уравнение принимает вид:

x=f (f(x) )

Рассмотри вспомогательное уравнение вида:

x=f(x)  

Предположим , что оно имеет корень x0 , то есть верно равенство:

1) x0=f(x0)

Вернемся к уравнению:

2) f( f(x) )=x

Можно заметить , что x=x0 так же является корнем этого уравнения.

Действительно , если подставить x0 имеем:

f ( f(x0) )=x0

Поскольку : f(x0)=x0 , то f ( f(x0) )=f(x0)

Откуда уравнение эквивалентно следующему:

f(x0)=x0 , что эквивалентно уравнению 1 , а значит x0 является корнем уравнения : f( f(x) )=x.

То есть все те корни ,что имеет уравнение: f(x)=x , обязательно имеет и уравнение : f( f(x) )=x

Запишем уравнение f(x)=x для нашей функции:

∛(9x-8)=x

x^3-9x+8=0

(x^3-1) -9*(x-1)=0

(x-1)*(x^2+x+1) -9*(x-1)=0

(x-1)*(x^2+x-8)=0

x1=1

x^2+x-8=0

D=1+32=22

x23=(-1+-√33)/2

Покажем теперь что уравнение :

x=∛( 9*∛(9x-8) -8 )  

не имеет  других корней кроме выше приведенных. (  то есть  данные уравнения имеют идентичные корни)

Не  трудно заметить ,что  функция : f(x)=∛(9x-8)   монотонно возрастает.

То  есть ,для такой функции справедливо следующее утверждение:

Если x1>x2 , то  f(x1)>f(x2)

Предположим, что x0 корень уравнения :

f( f(x) )=x , то  есть верно что:

f( f(x0) )=x0

Предположим , что x0 не является корнем уравнения  f(x)=x , то

есть  f(x0)≠x0

Пусть: f(x0)>x0

Тогда согласно утверждению выше:

f( f(x0) )>f(x0)

Но  поскольку  f (f (x0) )=x0 , то

x0>f(x0) , что  противоречит неравенству:  f(x0)>x0.

То  есть такое невозможно.

Аналогично доказывается невозможность случая: f(x0)<x0

f( f(x0) )<f(x0)

x0<f(x0) , то  есть противоречие.

Вывод: если уравнение  f(f(x))=0  имеет  корень x0, то  этот корень имеет и уравнение f(x)=x , но  так же мы до этого показали то что , если f(x)=x имеет корень x0, то  и уравнение  f(f(x))=0 имеет этот корень.

Таким образом заключаем , что уравнение:

x=∛( 9*∛(9x-8) -8 )  

имеет то же самое множество корней , что и  уравнение:

x= ∛(9x-8)

Ответ: x1=1 ; x2= (-1+√33)/2 ;  x3= (-1-√33)/2