разбейте число 8 на два неотрицательных слагаемых так что бы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей/   это связанно с производной,

 

пусть второе слагаемое х, тогда первое  8-х. Составим функцию:

(8-x)^2 + x^3.  Возьмем производную:  y ' =-2(8-x) + 3x^2 = 3x^2 + 2x -16.

Найдем критичесие точки:  3x^2 + 2x - 16=0,  x=-8/3;  2

так как числа неотрицательные, рассматриваем область [0; +беск)

До х=2 производная <0, т.е. функция убывает;  после х=2 производная >0, т.е. функция возрастает. Значит, х=2 - точка минимума, т.е. в ней функция достигает наименьшего значения. Тогда второе слагаемое равно 2, первое 6 

Второе слагаемое обозначим за  х, тогда первое слагаемое 8 - х.

По условию сумма  (8 - x)² + x³  должна быть наименьшей.  

Рассмотрим данную зависимость  как  функцию  f(x) = (8 - x)² + x³.

Тогда, чтобы найти её наименьшее значение нужно сначала найти все критические точки функции , а затем среди них выбрать из них точку минимума.

f''(x) = ((8 - x)² + x³)'= ((8 - x)²) '  +  (x³)' = 2*(8 - x)*(8 - x)'  + 3х² =

= - 2*(8 - x) + 3х²  = 3х² + 2х - 16

Критические точки - это точки в которых поизводная равна нулю:

    f''(x) = 0

    3х² + 2х - 16 = 0

       D = 4 + 4*3*16 = 196    

       √D = 14

        х  = 2                  или         х  = - 8/3 (не подходит, т.к. по условию 

                                                   оба  слагаемые неотрицательные)

Итак,  найдена ровно одна критическая точка.

Докажем, что это и есть точка минимума.

Расставим знаки производной на промежутках знакопостоянства:

                     -                                        +

-----------------------------------2-------------------------------------

ф-ция убывает                                ф-ция возрастает 
                

Т.о.  до точки х=2       ф-ция убывает,  а после точки х=2 -    возрастает  => 

х=2   -  точка минимума.

Значит в точке х=2 функция   f(x) = (8 - x)² + x³  принимает минимальное значение.

Итак, второе слагаемое 2,  тогда первое слагаемое равно 8 - х= 8-2 = 6

Ответ: первое слагаемое 6,  второе слагаемое 2.